In der Kontinuumsmechanik beschreibt die Materialableitung [1][2] die zeitliche Änderungsrate einiger physikalischer Größen (wie Wärme oder Impuls) eines Materialelements, das einer raum- und zeitabhängigen makroskopischen Geschwindigkeit unterworfen ist Feldvariationen dieser physikalischen Größe. Die Materialableitung kann als Bindeglied zwischen Euler- und Lagrange-Beschreibung der Kontinuumsverformung dienen. [3]
In der Fluiddynamik ist beispielsweise das Geschwindigkeitsfeld die Strömungsgeschwindigkeit, und die interessierende Menge kann die Temperatur des Fluids sein. In diesem Fall beschreibt die Materialableitung dann die Temperaturänderung eines bestimmten Fluidpakets mit der Zeit, wenn es entlang seiner Bahnlinie (Flugbahn) fließt.
Es gibt viele andere Namen für das Materialderivat, einschließlich:
- Advective Derivat [4]
- Konvektionsderivat [5]
- Derivat folgend auf das hydrodynamische Derivat [1]
- [1]
- Lagrangian-Derivat [6]
- [6]
- Partialderivat [6]
- substantives Derivat [8]
- Gesamtableitung [1][9]
Definition [ edit ]
Die Materialableitung wird für jedes Tensorfeld definiert, dh makroskopisch mit dem Sinn dass es nur von Position und Zeitkoordinaten abhängt, y = y ( x t ) :
wobei ∇ y die kovariante Ableitung des Tensors ist und u (19459003) ] x t ) ist die Fließgeschwindigkeit. Im Allgemeinen kann die konvektive Ableitung des Felds u · ∇ y die die kovariante Ableitung des Feldes enthält, als beide mit der Stromlinien-Tensor-Ableitung des Feldes [19459003"bezeichnetinterpretiertwerden] u · (] y ) oder als stromliniengerichtete Ableitung des Feldes ( u ∇) y führend zum gleichen Ergebnis. [10]
Nur dieser Raumbegriff, der die Strömungsgeschwindigkeit enthält, beschreibt den Transport des Feldes in der Strömung, während der andere die intrinsische Variation des Feldes beschreibt, unabhängig von dem Vorhandensein einer Strömung. Verwirrenderweise wird manchmal der Name "konvektive Ableitung" für die gesamte Materialableitung verwendet D / Dt statt nur für die räumliche Bezeichnung u ∇ [2] was ebenfalls überflüssig ist Nomenklatur. In der nichtredundanten Nomenklatur entspricht die wesentliche Ableitung nur der konvektiven Ableitung für fehlende Abläufe. Die Auswirkungen der zeitunabhängigen Ausdrücke in den Definitionen sind für den Skalar- und den Tensorfall jeweils als Advektion und Konvektion bekannt.
Scalar- und Vektorfelder [ edit ]
Zum Beispiel für ein makroskopisches Skalarfeld ( x ) und ein makroskopisches Vektorfeld A ( x t ) Die Definition lautet:
Im Skalarfall ∇ φ ist einfach der Gradient eines Skalars, ∇ A die kovariante Ableitung des makroskopischen Vektors ( was auch als die Jacobische Matrix von A in Abhängigkeit von x ) gedacht werden kann.
Insbesondere für ein Skalarfeld in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem ( x 1 x 2 x 3 ), die Komponenten der Geschwindigkeit u sind u 1 u 2 u 3 ist der konvektive Begriff dann:
Entwicklung [ edit ]
Betrachten Sie eine skalare Größe φ =
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