Kerr-Metrik - Wikipedia

Die Kerr-Metrik oder Kerr-Geometrie beschreibt die Geometrie der leeren Raumzeit um ein rotierendes, ungeladenes axialsymmetrisches Schwarzes Loch mit einem quasisphärischen Ereignishorizont. Die Kerr-Metrik ist eine exakte Lösung der Einstein-Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie. Diese Gleichungen sind in hohem Maße nichtlinear, was es sehr schwierig macht, exakte Lösungen zu finden.

Überblick [ edit ]

Die Kerr-Metrik ist eine Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik, die 1915 von Karl Schwarzschild entdeckt wurde und die die Geometrie der Raumzeit um eine ungeladene, sphärisch-symmetrische beschreibt und nicht drehender Körper. Die entsprechende Lösung für einen aufgeladenen kugelförmigen, nicht rotierenden Körper, die Reissner-Nordström-Metrik, wurde kurz darauf (1916–1918) entdeckt. Die genaue Lösung für ein ungeladenes, rotierendes Schwarzes Loch, die Kerr-Metrik, blieb jedoch bis 1963 ungelöst, als es von Roy Kerr entdeckt wurde. ^[1][2] Die natürliche Erweiterung eines aufgeladenen, rotierenden Schwarzen. Hole, die Kerr-Newman-Metrik, wurde kurz danach 1965 entdeckt. Diese vier verwandten Lösungen können in der folgenden Tabelle zusammengefasst werden:

Wobei Q die elektrische Ladung der Karosserie und J den Spin-Drehimpuls darstellt.

Nach der Kerr-Metrik sollten solche rotierenden Schwarzen Löcher ein Ziehen des Rahmens (auch als Lense-Thirring-Präzession bezeichnet) aufweisen, eine eindeutige Vorhersage der allgemeinen Relativitätstheorie. Die Messung dieses Frame-Dragging-Effekts war ein Hauptziel des Gravity Probe B-Experiments. Grob gesagt sagt dieser Effekt voraus, dass Objekte, die sich einer rotierenden Masse nähern, zur Teilnahme an ihrer Rotation mitgerissen werden, und zwar nicht aufgrund einer Kraft oder eines Drehmoments, die spürbar ist, sondern aufgrund der wirbelnden Krümmung der Raumzeit selbst, die den rotierenden Körpern zugeordnet ist . Bei ausreichender Entfernung müssen alle Objekte - selbst Licht - mit dem Schwarzen Loch rotieren; Die Region, in der dies gilt, wird Ergosphäre genannt.

Rotierende Schwarze Löcher haben Oberflächen, bei denen die Metrik eine Singularität zu haben scheint. Die Größe und Form dieser Flächen hängt von der Masse und dem Drehimpuls des Schwarzen Lochs ab. Die äußere Oberfläche umschließt die Ergosphäre und hat eine ähnliche Form wie eine abgeflachte Kugel. Die innere Oberfläche kennzeichnet den "Radius ohne Wiederkehr", auch "Ereignishorizont" genannt. Objekte, die diesen Radius passieren, können nie wieder mit der Welt außerhalb dieses Radius kommunizieren. Keine Oberfläche ist jedoch eine echte Singularität, da ihre scheinbare Singularität in einem anderen Koordinatensystem eliminiert werden kann. Objekte zwischen diesen beiden Horizonten müssen sich wie oben erwähnt mit dem rotierenden Körper mitdrehen; Dieses Merkmal kann verwendet werden, um Energie aus einem sich drehenden Schwarzen Loch bis zu seiner invarianten Massenenergie zu gewinnen Mc ² .

Das LIGO-Experiment, das Gravitationswellen detektierte, stellte auch die erste direkte Beobachtung eines Paares von Kerr-Schwarzen Löchern dar. ^[3]

Mathematische Form [ edit ]

in Boyer-Lindquist-Koordinaten [19659003] [ edit ]

Die Kerr-Metrik beschreibt die Geometrie der Raumzeit in der Nähe einer Masse M die sich mit einem Drehimpuls dreht J . Das Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten lautet ^[5][6]

${ displaystyle { begin {align} -c ^ {2} d tau ^ {2} = ds ^ {2} = & - left (1- { frac {r_ {s} r} { Sigma}} right) c ^ {2} dt ^ {2} + { frac { Sigma} { Delta}} dr ^ {2} + Sigma d theta ^ {2} \ & + left (r ^ {2} + a ^ {2} + { frac {r_ {s} ra ^ {2}} { Sigma}} sin ^ {2} theta right) sin ^ {2} theta d phi ^ {2} - { frac {2r_ {s} ra sin ^ {2} theta} { Sigma}} , c , dt , d phi end {align}}}$

( 1 )

wobei die Koordinaten ${\displaystyle r\mathrm{\theta \; <!--\; \theta \; -->}\mathrm{19\; <!--\; \varphi \; -->}}$ sind Standard Kugelkoordinatensystem, die den kartesischen Koordinaten ^[7][8]

${ displaystyle {x} = { sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} sin theta cos phi}$

( 2 )

${ displaystyle {y} = { sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} sin theta sin phi}$

( 3 )

${ displaystyle {z} = r cos theta}$

( 4 )

und r _s ist der Schwarzschildradius

${{displaystyle r_ {s} = { frac {2GM} { c ^ {2}}}}$

( 5 )

und wo die Länge Die Skalen a, Σ und Δ wurden der Kürze halber eingeführt

${ displaystyle a = { frac {J} {Mc}}}$

( 6 )

${ displaystyle Sigma = r ^ {2} + a ^ {2} cos ^ {2} theta} [19659184] { displaystyle Sigma = r ^ {2} + a ^ {2} cos ^ {2} theta} "/>$

( 7 )

${ displaystyle Delta = r ^ {2 } -r_ {s} r + a ^ {2}}$

( 8 )

Ein Schlüsselmerkmal, das in der obigen Metrik zu beachten ist, ist das Kreuzprodukt ${ displaystyle { begin {align} dt , d phi end {align}}}$

${19659197] { displaystyle c ^ {2} d tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} - { frac { Sigma} {r ^ {2} + a ^ {2}}} dr ^ {2} - Sigma d theta ^ {2 } - left (r ^ {2} + a ^ {2} right) sin ^ {2} theta d phi ^ {2}}$

( 9 )

Das Gesamtmassenäquivalent M (die Gravitationsmasse) des Körpers (einschließlich seiner Körpergröße) Rotationsenergie) und ihre irreduzible Masse M _irr sind verwandt durch ^[9][10]

${ displaystyle g _ { mu nu} = eta _ { mu nu} + fk _ { mu} k _ { nu } !}$