In der algebraischen Zahlentheorie ist ein quadratisches Feld ein algebraisches Zahlenfeld K mit dem Grad zwei über Q den rationalen Zahlen. Die Karte d ↦ Q ( √ d ) ist eine Bijektion aus der Menge aller quadratischen freien Zahlen d ≠ 0, 1 für die Menge aller quadratischen Felder. Wenn d > 0 das entsprechende quadratische Feld als reelles quadratisches Feld und für d <0 ein imaginäres quadratisches Feld oder bezeichnet wird. komplexes quadratisches Feld je nachdem, ob es sich um ein Unterfeld des Feldes der reellen Zahlen handelt oder nicht.
Quadratische Felder wurden zunächst im Rahmen der Theorie binärer quadratischer Formen eingehend untersucht. Es gibt noch einige ungelöste Probleme. Das Klassennummernproblem ist besonders wichtig.
Ring aus ganzen Zahlen [ edit ]
Diskriminant [ edit
Für eine nicht-null-quadratische freie Ganzzahl Die Diskriminante des quadratischen Feldes K = Q ( √ d ) ist d d d d d ] ist deckungsgleich zu 1 modulo 4 und ansonsten 4 d . Wenn zum Beispiel d -1 ist, dann ist K das Feld der Gaußschen Rationalen und die Diskriminanz ist -4. Der Grund für eine solche Unterscheidung ist, dass der Ring der ganzen Zahlen von K im ersten Fall durch ½ (1+ √ d ) erzeugt wird, aber durch √ d im zweiten Fall.
Der Satz von Diskriminanten quadratischer Felder ist genau der Satz von Grunddiskriminanten.
Primfaktorisierung in Ideale [ edit ]
Jede Primzahl p führt zu einem Ideal pO K K K Ring aus ganzen Zahlen O K eines quadratischen Feldes K .
Dies kann im Einklang mit der allgemeinen Theorie der Aufspaltung der besten Ideale in Galois-Erweiterungen sein
- p ist inert
- ( p ) ist ein ideales Ideal
- Der Quotientenring ist das endliche Feld mit p 2 Elemente: O K / pO K = F p 2
- p p ) ist ein Produkt aus zwei verschiedenen Hauptidealen von O K .
- Der Quotientenring ist das Produkt O K / pO K = F p × F p .
- p ist ] ( p ) ist das Quadrat eines Prim-Ideals von O K .
- Der Quotientenring enthält nicht-null-potentielle Elemente.
Der dritte Fall passiert wenn und nur dann, wenn p den Diskriminanten teilt D . Der erste und der zweite Fall treten auf, wenn das Kronecker-Symbol ( D / p ) –1 bzw. +1 ist. Wenn zum Beispiel p eine ungerade Primzahl ist, die sich nicht teilt D dann p teilt sich genau dann, wenn D einem Quadrat entspricht modulo p . Die ersten beiden Fälle treten gewissermaßen gleichermaßen auf, als p die Primzahlen durchläuft, siehe Chebotarev-Dichtesatz. [1]
Das Gesetz der quadratischen Reziprozität impliziert, dass dies der Fall ist Das Spaltungsverhalten eines Prims p in einem quadratischen Feld hängt nur von p modulo D ab, wobei D die Felddiskriminante ist.
Quadratische Unterfelder von zyklotomischen Feldern [ edit ]
Das quadratische Unterfeld des primären zyklotomischen Feldes [ edit
. Ein klassisches Beispiel für Die Konstruktion eines quadratischen Feldes soll das eindeutige quadratische Feld innerhalb des zyklotomischen Feldes nehmen, das von einer primitiven -ten Wurzel der Einheit erzeugt wird, wobei p eine Primzahl> 2 ist. Die Einzigartigkeit ist eine Konsequenz der Galois-Theorie, es gibt eine einzigartige Untergruppe von Index 2 in der Galois-Gruppe über Q . Wie zu Gauß'scher Zeit erklärt, ist die Diskriminante des quadratischen Feldes p für p = 4 n + 1 und p für . p = 4 n + 3. Dies lässt sich auch aus ausreichender Verzweigungstheorie voraussagen. Tatsächlich ist p die einzige Primzahl, die im zyklotomischen Feld verzweigt, so dass p die einzige Primzahl ist, die die quadratische Felddiskriminanz teilen kann. Dies schließt die "anderen" Diskriminanten aus - 4 p und 4 p in den jeweiligen Fällen.
Andere zyklotomische Felder [ edit ]
Wenn einer der anderen zyklotomischen Felder verwendet, haben sie Galois-Gruppen mit zusätzlicher 2-Torsion und enthalten daher mindestens drei quadratische Felder. Im Allgemeinen kann ein quadratisches Feld von Felddiskriminanten D als Unterfeld eines zyklotomischen Feldes von D -ten Wurzeln der Einheit erhalten werden. Dies drückt die Tatsache aus, dass der Leiter eines quadratischen Feldes der absolute Wert seiner Diskriminanz ist, ein Sonderfall des Führerdiskriminantenproduktformel.
Ordnungen quadratischer Zahlenfelder kleiner Diskriminanten [ edit ]
Die folgende Tabelle zeigt einige Ordnungen kleiner Diskriminanten quadratischer Felder. Die maximale Ordnung eines algebraischen Zahlenfelds ist sein Ring aus ganzen Zahlen, und die Diskriminanz der maximalen Ordnung ist die Diskriminanz des Feldes. Die Diskriminante einer nicht-maximalen Ordnung ist das Produkt der Diskriminante der entsprechenden maximalen Ordnung durch das Quadrat der Determinante der Matrix, die eine Basis der nicht-maximalen Ordnung über einer Basis der maximalen Ordnung ausdrückt. Alle diese Diskriminanten können durch die Formel Diskriminanz eines algebraischen Zahlenfeldes definiert werden. § Definition.
Für reelle quadratische Ganzzahlringe ist die ideale Klassennummer, die den Ausfall einer eindeutigen Faktorisierung misst, in OEIS A003649 angegeben. für den imaginären Fall sind sie in OEIS A000924 angegeben.
| Ordnung | Diskriminant | Klassennummer | Einheiten | Kommentare |
|---|---|---|---|---|
| Z [ √ -5 ] | -20 | 2 | ± 1 | Ideale Klassen (1), (2, 1+ √ -5 ) |
| Z [(1+ √ -19 ) / 2] | -19 | 1 | ± 1 | Ideale Hauptdomäne, nicht euklidisch |
| Z [2 √ -1 ] | -16 | 1 | ± 1 | Nicht maximale Reihenfolge |
| Z [(1+ √ -15 ) / 2] | -15 | 2 | ± 1 | Ideale Klassen (1), (2, (1+ √ -15 ) / 2) |
| Z [ √ -3 ] | -12 | 1 | ± 1 | Nicht maximale Reihenfolge |
| Z [(1+ √ -11 ) / 2] | -11 | 1 | ± 1 | euklidisch |
| Z [ √ -2 ] | -8 | 1 | ± 1 | euklidisch |
| Z [(1+ √ -7 ) / 2] | -7 | 1 | ± 1 | Kleinianische Ganzzahlen |
| Z [ √ -1 ] | -4 | 1 | ± 1, ± i zyklisch der Ordnung 4 | Gaußsche Zahlen |
| Z [(1+ √ -3 ) / 2] | -3 | 1 | ± 1, (± 1 ± √ -3 ) / 2 | Eisenstein-Ganzzahlen |
| Z [ √ -21 ] | -84 | 4 | Klassengruppe nicht zyklisch ( C 2 × C 2 ) | |
| Z [(1+ √ 5 ) / 2] | 5 | 1 | ± ((1+ √ 5 ) / 2) n (Norm -1 n ) | |
| Z [ √ 2 ] | 8 | 1 | ± (1+ √ 2 ) n (Norm -1 n ) | |
| Z [ √ 3 ] | 12 | 1 | ± (2+ √ 3 ) n (Norm 1) | |
| Z [(1+ √ 13 ) / 2] | 13 | 1 | ± ((3+ √ 13 ) / 2) n (Norm -1 n ) | |
| Z [(1+ √ 17 ) / 2] | 17 | 1 | ± (4+ √ 17 ) n (Norm -1 n ) | |
| Z [ √ 5 ] | 20 | 2 | ± ( √ 5 +2) n (Norm -1 n ) | Nicht maximale Reihenfolge |
Einige dieser Beispiele sind in Artin, Algebra (2 nd ed.), §13.8 aufgeführt.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ bearbeiten ]
- Buell, Duncan (1989), Binäre quadratische Formen: klassische Theorie und moderne Berechnungen Springer-Verlag, ISBN 0-387-97037-1 Kapitel 6.
- Samuel, Pierre (1972), Algebraische Zahlentheorie (Hardcover ed.), Paris / Boston: Hermann / Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
- Stewart , IM; Tall, DO (1979), Algebraische Zahlentheorie Chapman und Hall, ISBN 0-412-13840-9 Kapitel 3.1 ]]
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