C * -Algebra - Wikipedia

Topologischer komplexer Vektorraum

C ^[1945 -Algebren (ausgesprochen "C-star") sind Forschungsgegenstände der funktionalen Analyse, einem Zweig der Mathematik. Eine C * -Algebra ist eine komplexe Algebra A von kontinuierlichen linearen Operatoren in einem komplexen Hilbert-Raum mit zwei zusätzlichen Eigenschaften:

C * -Algebren wurden zuerst in erster Linie aufgrund ihrer Verwendung in der Quantenmechanik zur Modellierung von Algebren von physikalischen Observablen betrachtet. Diese Forschungslinie begann mit der Matrixmechanik von Werner Heisenberg und in einer mathematisch weiter entwickelten Form um Pascal Jordan um 1933. Anschließend versuchte John von Neumann, einen allgemeinen Rahmen für diese Algebren zu schaffen, der in einer Reihe von Beiträgen über Operatorenringe kulminierte. Diese Arbeiten betrachteten eine besondere Klasse von C * -Algebren, die heute als von-Neumann-Algebren bekannt sind.

Um 1943 führten die Arbeiten von Israel Gelfand und Mark Naimark zu einer abstrakten Charakterisierung der C * -Algebren, ohne auf Operatoren in einem Hilbert-Raum Bezug zu nehmen.

C * -Algebren sind heute ein wichtiges Instrument in der Theorie der einheitlichen Repräsentation von lokal kompakten Gruppen und werden auch in algebraischen Formulierungen der Quantenmechanik verwendet. Ein weiteres aktives Forschungsgebiet ist das Programm zur Klassifizierung oder zur Bestimmung des Ausmaßes, in dem eine Klassifikation möglich ist, für trennbare einfache kerntechnische C * -Algebren.

Abstrakte Charakterisierung [ edit ]

Wir beginnen mit der abstrakten Charakterisierung der C * -Algebren von Gelfand und Naimark aus dem Jahr 1943.

AC * -Algebra, A eine Banachalgebra über dem Feld komplexer Zahlen, zusammen mit einer Karte $x<!--\; \mapsto \; -->x^{\{\; textstyle\; x\; mapsto\; x\; ^\; \{*\}\}}$ für ${ textstyle x in A}$ mit den folgenden Eigenschaften:

${ displaystyle ( lambda x) ^ {*} = { overline { lambda}} x ^ {*}.}$