Topologischer komplexer Vektorraum
C [1945 -Algebren (ausgesprochen "C-star") sind Forschungsgegenstände der funktionalen Analyse, einem Zweig der Mathematik. Eine C * -Algebra ist eine komplexe Algebra A von kontinuierlichen linearen Operatoren in einem komplexen Hilbert-Raum mit zwei zusätzlichen Eigenschaften:
C * -Algebren wurden zuerst in erster Linie aufgrund ihrer Verwendung in der Quantenmechanik zur Modellierung von Algebren von physikalischen Observablen betrachtet. Diese Forschungslinie begann mit der Matrixmechanik von Werner Heisenberg und in einer mathematisch weiter entwickelten Form um Pascal Jordan um 1933. Anschließend versuchte John von Neumann, einen allgemeinen Rahmen für diese Algebren zu schaffen, der in einer Reihe von Beiträgen über Operatorenringe kulminierte. Diese Arbeiten betrachteten eine besondere Klasse von C * -Algebren, die heute als von-Neumann-Algebren bekannt sind.
Um 1943 führten die Arbeiten von Israel Gelfand und Mark Naimark zu einer abstrakten Charakterisierung der C * -Algebren, ohne auf Operatoren in einem Hilbert-Raum Bezug zu nehmen.
C * -Algebren sind heute ein wichtiges Instrument in der Theorie der einheitlichen Repräsentation von lokal kompakten Gruppen und werden auch in algebraischen Formulierungen der Quantenmechanik verwendet. Ein weiteres aktives Forschungsgebiet ist das Programm zur Klassifizierung oder zur Bestimmung des Ausmaßes, in dem eine Klassifikation möglich ist, für trennbare einfache kerntechnische C * -Algebren.
Abstrakte Charakterisierung [ edit ]
Wir beginnen mit der abstrakten Charakterisierung der C * -Algebren von Gelfand und Naimark aus dem Jahr 1943.
AC * -Algebra, A eine Banachalgebra über dem Feld komplexer Zahlen, zusammen mit einer Karte für mit den folgenden Eigenschaften:
- Für jede komplexe Zahl λ in C und jeden x in A :
19 x 19 = [1945 x [1945 90 ] x 65 . { displaystyle | x ^ {*} x | = | x | | x ^ {*} | |}
Bemerkung Die ersten drei Identitäten besagen, dass A eine * - Algebra ist. Die letzte Identität wird als C * -Kennung bezeichnet und entspricht:
was manchmal als B * -identität bezeichnet wird. Die Geschichte hinter den Namen C * - und B * -Algebren finden Sie im Abschnitt "Verlauf".
Die C * -identität ist eine sehr starke Anforderung. Zusammen mit der Spektralradiusformel bedeutet dies beispielsweise, dass die C * -Norm eindeutig durch die algebraische Struktur bestimmt wird:
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