Rationale Oberfläche - Wikipedia

In der algebraischen Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, eine rationale Fläche eine Fläche, die der Projektionsebene birational entspricht, oder anders ausgedrückt, eine rationale Vielfalt von Dimension zwei. Rationale Oberflächen sind die einfachsten der etwa zehn Oberflächenklassen in der Enriques-Kodaira-Klassifizierung von komplexen Oberflächen.
und waren die ersten zu untersuchenden Oberflächen.

Struktur [ edit ]

Jede nicht singuläre rationale Oberfläche kann durch wiederholtes Aufblasen einer minimalen rationalen Oberfläche erhalten werden. Die minimalen rationalen Flächen sind die Projektionsebene und die Hirzebruch-Flächen Σ _r für r = 0 oder r ≥ 2.

Invarianten: Die Plurigenera sind alle 0 und die grundlegende Gruppe ist trivial.

Hodge-Diamant:

wobei n 0 für die Projektionsebene und 1 für Hirzebruch-Oberflächen ist
und für andere rationale Oberflächen größer als 1.

Die Picard-Gruppe ist das ungerade unimodulare Gitter I _{1, n} mit Ausnahme der Hirzebruch-Oberflächen _{2 m} wenn es das gerade unimodulare Gitter II ist _1,1 .

Castelnuovos Theorem [ edit ]

. Guido Castelnuovo bewies, dass alle komplexen Oberflächen wie q und P ₂ 2 waren Unregelmäßigkeit und zweiter Plurigenus) beide verschwinden ist rational. Dies wird in der Enriques-Kodaira-Klassifikation verwendet, um die rationalen Oberflächen zu identifizieren. Zariski (1958) hat bewiesen, dass Castelnuovos Theorem auch positive Charakteristika beherrscht.

Castelnuovos Theorem impliziert auch, dass jede unirationale komplexe Oberfläche rational ist, denn wenn eine komplexe Oberfläche unirational ist, dann sind ihre Unregelmäßigkeit und Plurigenera von denen einer rationalen Oberfläche begrenzt und sind daher alle 0, sodass die Oberfläche rational ist. Die meisten unirationalen komplexen Sorten der Dimension 3 oder größer sind nicht rational.
In charakteristisch p > 0 fand Zariski (1958) Beispiele für unirationale Oberflächen (Zariski-Oberflächen), die nicht rational sind.

Zu einer Zeit war es unklar, ob eine komplexe Oberfläche wie q und P ₁ beide verschwand
ist rational, aber ein Gegenbeispiel (eine Enriques-Oberfläche) wurde von Federigo Enriques gefunden.

Beispiele für rationale Oberflächen [ edit ]

Siehe auch edit

References [ edit _]]

• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A. M .; Van de Ven, Antonius (2004), Kompakte komplexe Oberflächen Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225


• Beauville, Arnaud (1996), Komplexe algebraische Oberflächen London Mathematical Society Student Texts, 19459004, 34 (2. Aufl.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314


• Zariski, Oscar (1958), "On Castelnuovos Rationalitätskriterium p _a = P ₂ = 0 einer algebraischen Oberfläche ", Illinois Journal of Mathematics 2 : 303– 315, ISSN 0019-2082, MR 0099990